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三制與道經(jīng)典的砝碼問題

現(xiàn)在我們普遍使用十位制行數(shù)學(xué)運(yùn)算，概是源于我們的祖先喜歡用手指來計(jì)數(shù)，畢竟數(shù)學(xué)先是種實(shí)用的工具。另種常使用的位制是二位制，在計(jì)算機(jī)運(yùn)算之中。
日常生活中好像沒有三制的立足之處。1個(gè)季度是3個(gè)月，應(yīng)是三位制，可是我們說1年是4個(gè)季度，而不是11個(gè)季度。交通信號(hào)的紅綠黃的三種狀態(tài)可以表示0、1、2來描述，這似乎與三制沾上了邊，可是zui近紅綠黃燈多變成了紅綠燈，三制變成了二制。
雖然在日常生活中少有表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，但是用三位制就非常容易解決道關(guān)于砝碼的經(jīng)典趣味數(shù)學(xué)題。
這道砝碼問題是巴協(xié)（Bachet）給出的：要想在天平上稱出1到40磅在內(nèi)的任何整磅數(shù)，問zui少需要幾個(gè)多重的砝碼？這里有兩種放置砝碼的辦法：（1）所有砝碼只放天平的端，（2）砝碼可以放天平的兩端。

對于（1），砝碼具有兩種狀態(tài)，不放或者放。記不放為0，放為1，這個(gè)問題可以使用二制來解決。二制的砝碼重量設(shè)置為1、2、4、8、16、32。在1到1+2+4+8+16+32也就是63之內(nèi)的任何數(shù)量都可以用1、2、4、8、16、32中的某幾個(gè)數(shù)相加得到。所以問題（1）的砝碼數(shù)是6個(gè)，每個(gè)砝碼的重量設(shè)置為1、2、4、8、16、32磅。
對于（2），砝碼具有三種狀態(tài)，不放、放在天平左端、放在天平右端。記不放為0，放左邊為1，放右邊為-1，這個(gè)問題可以使用三制來解決。在三制中，砝碼的重量設(shè)置為1、3、9、27.。在1到1+3+9+27也就是40之內(nèi)的任何數(shù)量都可以用1、3、9、27中的某幾個(gè)數(shù)相加或者相減獲得。
我們來看這幾個(gè)砝碼是如何稱量1到40的：

1=1；2=3-1；3=3 ；4=3+1；5=9-3-1 ；6=9-3 ；
7=9-3+1；8=9-1 ；9=9 ；10=9+1 ；11=9+3-1
……
35=27+9-1； 36=27+9；37=27+9+1
38=27+9+3-1；39=27+9+3；40=27+9+3+1

這里，加號(hào)意味著天平左邊放置砝碼，減號(hào)意味著天平右邊放置砝碼（與被稱重的物體放在同端）。
如果我們增加兩個(gè)砝碼81磅和243磅，用6個(gè)砝碼可以就稱重1到364磅的重量。如果砝碼繼續(xù)按3的冪次增加重量，則稱重的范圍越來越。用重量為1、3^2、3^3、……、3^n的n個(gè)砝碼可以稱出從1到（3^n-1）/2的所有重量。
問題是，如果個(gè)被稱物體較重，我們該如何在天平兩端放置砝碼呢？這里涉及到十制向三制的計(jì)算。像十制轉(zhuǎn)化為二制樣，轉(zhuǎn)化方法就是連續(xù)的除法運(yùn)算（這里不打算詳細(xì)介紹）。
例如，（80）10=（2222）3
等式右邊的含義是，80可以用2個(gè)1、2個(gè)3、2個(gè)9、2個(gè)27相加而成。
在天平稱重中，我們要的是zui少的砝碼數(shù)，我們可以把2變成（10-1）3（簡記為-1），也就是說，個(gè)級(jí)的砝碼減去個(gè)小級(jí)的砝碼。砝碼放在天平左端，小砝碼和被稱重物同放在天平右端。
因?yàn)?，?222）3=（1000-1）3 ，該式的含義就是用2個(gè)1、2個(gè)3、2個(gè)9、2個(gè)27加成的得數(shù)等于用1個(gè)81減去1的得數(shù)。

所以，要稱重80磅的物體，需要在天平左邊放置1個(gè)81磅的砝碼，在天平右邊放置個(gè)1磅的砝碼。
又例如，如果我們用zui少的砝碼稱出了個(gè)331磅的東西，我們究竟用了哪幾個(gè)砝碼呢？
因?yàn)椋?31）10=（110021）3=（1101-11）3
所以，要稱重331磅的物體，需要在天平左邊放置1個(gè)243磅的砝碼、1個(gè)81磅的砝碼、1個(gè)9磅的砝碼、1個(gè)1磅的砝碼，在天平右邊放置個(gè)3磅的砝碼。
因?yàn)槊看畏Q量能區(qū)別3個(gè)球，將12表示為三制。
在文章的zui后，我們把巴協(xié)（Bachet）的砝碼問題稍稍擴(kuò)些：要想在天平上稱出1到500磅在內(nèi)的任何整磅數(shù)，問zui少需要幾個(gè)多重的砝碼？這里有兩種放置砝碼的辦法：（1）所有砝碼只放天平的端，（2）砝碼可以放天平的兩端。
 

三制與道經(jīng)典的砝碼問題

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砝碼是種復(fù)現(xiàn)質(zhì)量值的實(shí)物量具。它具有定的物理特性和計(jì)量特性：形狀、尺寸、材料、表面狀況、密度、磁性、質(zhì)量標(biāo)稱值和zui允許誤差等。對于個(gè)砝碼，它可以單獨(dú)復(fù)現(xiàn)某固定的質(zhì)量值。對于砝碼組，它不僅可以單獨(dú)單個(gè)使用，而且也可將不同的單個(gè)砝碼組合在起使用，用以復(fù)現(xiàn)若干個(gè)小不同的組質(zhì)量值。為了方便生產(chǎn)與識(shí)別，砝碼應(yīng)具有簡單的幾何形狀。砝碼的邊和角應(yīng)修圓，表面不應(yīng)有銳邊或銳角和明顯的砂眼，以防止磨損和積灰。砝碼組中的砝碼，除了1g或小于1g的砝碼，應(yīng)具有相同的形狀

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